Question

4．已知F₁，F₂是双曲线E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的左，右焦点，点M在E上，MF₁与x轴垂直，sin∠MF₂F₁=$\frac{1}{3}$，则E的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 由条件MF₁⊥MF₂，sin∠MF₂F₁=$\frac{1}{3}$，列出关系式，从而可求离心率．

解答 解：由题意，M为双曲线左支上的点，
则丨MF₁丨=$\frac{{b}^{2}}{a}$，丨MF₂丨=$\sqrt{4{c}^{2}+（\frac{{b}^{2}}{a}）^{2}}$，
∴sin∠MF₂F₁=$\frac{1}{3}$，∴$\frac{\frac{{b}^{2}}{a}}{\sqrt{4{c}^{2}+\frac{{b}^{4}}{{a}^{2}}}}$=$\frac{1}{3}$，
可得：2b⁴=a²c²，即$\sqrt{2}$b²=ac，又c²=a²+b²，
可得$\sqrt{2}$e²-e-$\sqrt{2}$=0，
e＞1，解得e=$\sqrt{2}$．
故选A．

点评 本题考查双曲线的定义及离心率的求解，关键是找出几何量之间的关系，考查数形结合思想，属于中档题．