Question

5．设函数f（x）=x²+ax-lnx，a∈R．
（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）在（1）的条件下，设函数g（x）=x²-2bx+1+ln2，若对于?x₁∈（0，+∞），?x₂∈[0，1]，使f（x₁）≥g（x₂）成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用导数求函数的单调区间较用定义简单，所以利用导数求解，需要注意函数的定义域；
（2）依题意要求对定义域内的任意x值都有不等式立，只需f（x）的最小值比g（x）不小就可以，所以由上一问可以确定f（x）在定义域内的最小值为$f（\frac{1}{2}）$，题中要求可以看作是关于g（x）的一个二次不等式在[0，1]上有解，运用分离常数法可以变成有关b和x的不等式，其中知道x的范围，利用一些不等式的性质就可以求得b的范围．

解答 解：（1）由于函数f（x）=x²+ax-lnx，可知定义域为（0，+∞），
当a=1时，$f′（x）=2x+1-\frac{1}{x}$，f′（x）=0的解为$x=\frac{1}{2}或x=-1（舍去）$，
∴在$（0，\frac{1}{2}）$上f′（x）＜0，故f（x）在$（0，\frac{1}{2}）$为单调减函数，
在$[\frac{1}{2}，+∞）$上f′（x）≥0，故f（x）在$[\frac{1}{2}，+∞）$为单调递增函数；
（2）由（1）中条件可知对?x∈（0，+∞）均有$f（x）≥f（\frac{1}{2}）$=$\frac{3}{4}+ln2$，
依题中条件?x₁∈（0，+∞）?x₂∈[0，1]使f（x₁）≥g（x₂），
即关于x的不等式${x}^{2}-2bx+1+ln2≤\frac{3}{4}+ln2$在[0，1]上有解，
∴将其进行变形有${x}^{2}+\frac{1}{4}≤2bx$，当x=0时不等式不成立；
[0，1]且x≠0时有$b≥\frac{1}{2}×（x+\frac{1}{4x}）$$≥\frac{1}{2}×2\sqrt{x•\frac{1}{4x}}=\frac{1}{2}$，当且仅当$x=\frac{1}{4x}$时等号成立，即$x=\frac{1}{2}$．
故：b的范围是$[\frac{1}{2}，+∞）$．

点评 （1）中利用导数求单区间应注意函数定义域；（2）运用转化思想将原已知条件进行转化，使其变为关于x的不等式在某一区间有解的问题．