Question

4．已知函数f（x）=ax³+bx²+cx在x=±1处取得极值，在x=0处的切线与直线3x+y=0平行．
（1）求f（x）的解析式；
（2）已知点A（2，m），求过点A的曲线y=f（x）的切线条数．

Answer 1

分析 （1）求得f（x）的导数，由题意可得f′（1）=f′（-1）=0，f′（0）=-3，解方程可得a，b，c，进而得到f（x）的解析式；
（2）设切点为（t，t³-3t），求得f′（x）=3x²-3，可得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程，代入A的坐标，整理可得m=-2t³+6t²-6．设g（t）=-2t³+6t²-6，求出导数，单调区间和极值，画出y=g（t）的图象，讨论m的范围，即可得到所求切线的条数．

解答 解　（1）f′（x）=3ax²+2bx+c，
由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）=3a+2b+c=0}\\{f′（-1）=3a-2b+c=0}\\{f′（0）=c=-3}\end{array}\right.$，
解方程可得a=1，b=0，c=-3．
所以f（x）=x³-3x．
（2）设切点为（t，t³-3t），由（1）知f′（x）=3x²-3，
所以切线斜率k=3t²-3，
切线方程为y-（t³-3t）=（3t²-3）（x-t）．
又切线过点A（2，m），代入得m-（t³-3t）=（3t²-3）（2-t），
解得m=-2t³+6t²-6．
设g（t）=-2t³+6t²-6，令g′（t）=0，即-6t²+12t=0，解得t=0或t=2．
当t变化时，g′（t）与g（t）的变化情况如下表：

t	（-∞，0）	0	（0，2）	2	（2，+∞）
g′（t）	-	0	+	0	-
g（t）	↘Φ	极小值	↗Γ	极大值	↘Φ

所以g（t）的极小值为g（0）=-6，极大值为g（2）=2．
作出函数草图可知：
①当m＞2或m＜-6时，方程m=-2t³+6t²-6只有一解，即过点A只有一条切线；
②当m=2或m=-6时，方程m=-2t³+6t²-6恰有两解，即过点A有两条切线；
③当-6＜m＜2时，方程m=-2t³+6t²-6有三解，即过点A有三条切线．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查函数方程的转化思想，以及数形结合的思想方法，属于中档题．