Question

15．已知数列{a_n}是递增的等比数列，满足a₁=4，且$\frac{5}{4}{a_3}$是a₂、a₄的等差中项，数列{b_n}满足b_n+1=b_n+1，其前n项和为S_n，且S₂+S₄=a₄．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）数列{a_n}的前n项和为T_n，若不等式nlog₂（T_n+4）-λb_n+7≥3n对一切n∈N⁺恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由已知得${a_n}=4{q^{n-1}}$，由等差中项性质得2q²-5q+2=0，由此能求出数列{a_n}的通项公式；由题意，数列{b_n}为等差数列，公差d=1，再由S₂+S₄=32，得b₁=2，由此能求出数列{b_n}的通项公式．
（2）由已知${T_n}=\frac{{4（{2^n}-1）}}{2-1}={2^{n+2}}-4$，从而$λ≤\frac{{{n^2}-n+7}}{n+1}$对一切n∈N⁺恒成立，由此能求出结果．

解答 解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，则q＞1，${a_n}=4{q^{n-1}}$，
∵$\frac{5}{4}{a_3}$是a₂和a₄的等差中项，∴$2×\frac{5}{4}{a_3}={a_2}+{a_4}$，即2q²-5q+2=0．
∵q＞1，∴q=2，∴${a_n}=4•{2^{n-1}}={2^{n+1}}$…（3分）
依题意，数列{b_n}为等差数列，公差d=1，
又S₂+S₄=32，∴$（2{b_1}+1）+6{b_1}+\frac{6×5}{2}=32$，∴b₁=2，
∴b_n=n+1．…（6分）
（2）∵${a_n}={2^{n+1}}$，∴${T_n}=\frac{{4（{2^n}-1）}}{2-1}={2^{n+2}}-4$．
不等式nlog₂（T_n+4）-λb_n+7≥3n化为n²-n+7≥λ（n+1）…（9分）
∵n∈N⁺，∴$λ≤\frac{{{n^2}-n+7}}{n+1}$对一切n∈N⁺恒成立．
而$\frac{{{n^2}-n+7}}{n+1}=\frac{{{{（n+1）}^2}-3（n+1）+9}}{n+1}=（n+1）+\frac{9}{n+1}-3≥2\sqrt{（n+1）•\frac{9}{n+1}}-3=3$，
当且仅当$n+1=\frac{9}{n+1}$即n=2时等式成立．
∴λ≤3…（12分）

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用．