Question

12．己知函数f（x）=$\sqrt{3}sinxcosx+{sin^2}x+\frac{1}{2}$（x∈R）．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）当$x∈[-\frac{π}{12}，\frac{5π}{12}]$时，求函数f（x）的最小值和最大值．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和单调性得出结论．
（2）由条件利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）的最小值和最大值．

解答 解：（1）f（x）=$\sqrt{3}sinxcosx+{sin^2}x+\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1-cos2x}{2}$+$\frac{1}{2}$
=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+1 的最小正周期为T=$\frac{2π}{2}$=π，
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，可得函数的单调递增区间为$[-\frac{π}{6}+kπ，\frac{π}{3}+kπ]（k∈Z）$．
（2）当$x∈[-\frac{π}{12}，\frac{5π}{12}]$时，2x-$\frac{π}{6}$∈[0，$\frac{2π}{3}$]，
故当2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$时，$f{（x）_{max}}=f（\frac{π}{3}）=2$，
当2x-$\frac{π}{6}$=0 时，f（x）_min=sin0+1=1．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和单调性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．