Question

10．已知f（x）=log_a（x+1），g（x）=log_a（1-x），a＞0且a≠1，则使f（x）-g（x）＞0成立的x的集合是当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|-1＜x＜0}；当a＞1时，原不等式的解集为{x|0＜x＜1}．

Answer 1

分析 利用函数的奇偶性整理不等式为log_a（x+1）＞log_a（1-x），对底数a分类讨论得出x的范围．

解答 解：f（x）-g（x）＞0，即 log_a（x+1）-log_a（1-x）＞0，log_a（x+1）＞log_a（1-x）．
当0＜a＜1时，上述不等式等价于$\left\{\begin{array}{l}{x+1＞0}\\{1-x＞0}\\{x+1＜1-x}\end{array}\right.$，解得-1＜x＜0；
当a＞1时，原不等式等价于$\left\{\begin{array}{l}{x+1＞0}\\{1-x＞0}\\{x+1＞1-x}\end{array}\right.$，解得0＜x＜1．
综上所述，当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|-1＜x＜0}；
当a＞1时，原不等式的解集为{x|0＜x＜1}．
故答案为：当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|-1＜x＜0}；a＞1时，原不等式的解集为{x|0＜x＜1}．

点评 本题考查不等式的解法，对底数a的分类讨论是关键．