Question

14．定义全集U的子集A的特征函数为f_A（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{1}\\{0}\end{array}}\right.\begin{array}{l}{，x∈A}\\{，x∈{∁_U}A}\end{array}$，这里∁_UA表示集合A在全集U中的补集．已知A⊆U，B⊆U，给出以下结论：
①若A⊆B，则对于任意x∈U，都有f_A（x）≤f_B（x）；
②对于任意x∈U，都有${f_{{∁_U}A}}$（x）=1-f_A（x）；
③对于任意x∈U，都有f_A∩B（x）=f_A（x）•f_B（x）；
④对于任意x∈U，都有f_A∪B（x）=f_A（x）+f_B（x）．
其中正确的结论有①②③．（写出全部正确结论的序号）

Answer 1

分析 根据题中特征函数的定义，利用集合的交集、并集和补集运算法则，对①②③④各项中的运算加以验证，可得①②③都可以证明它们的正确性，而D项可通过反例说明它不正确．由此得到本题答案．

解答 解：对于①，f_A（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{1}\\{0}\end{array}}\right.\begin{array}{l}{，x∈A}\\{，x∈{∁_U}A}\end{array}$，f_B（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x∈B}\\{0，x{∈∁}_{U}B}\end{array}\right.$，
而∁_UA中可能有B的元素，但C_UB中不可能有A的元素
∴f_A（x）≤f_B（x），
即对于任意x∈U，都有f_A（x）≤f_B（x）故①正确；
对于②，∵f_∁UA（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x{∈∁}_{U}A}\\{0，x∈A}\end{array}\right.$，
结合f_A（x）的表达式，可得f_∁UA（x）=1-f_A（x），故②正确；
对于③，f_A∩B（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x∈A∩B}\\{0，x{∈∁}_{U}（A∩B）}\end{array}\right.$=$\left\{{\begin{array}{l}{1}\\{0}\end{array}}\right.\begin{array}{l}{，x∈A}\\{，x∈{∁_U}A}\end{array}$•$\left\{\begin{array}{l}{1，x∈B}\\{0，x{∈∁}_{U}B}\end{array}\right.$=f_A（x）•f_B（x），故③正确；
对于④，f_A∪B（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x∈A∪B}\\{0，x{∈∁}_{U}（A∪B）}\end{array}\right.$，
当某个元素x在A中但不在B中，由于它在A∪B中，故f_A∪B（x）=1，
而f_A（x）=1且f_B（x）=0，可得f_A∪B（x）≠f_A（x）+f_B（x），故④不正确．
故答案为：①②③．

点评 本题给出特征函数的定义，判断几个命题的真假性，着重考查了集合的运算性质和函数对应法则的理解等知识，属于中档题．