Question

6．如图，平行四边形ABCD⊥平面CDE，AD⊥DE．
（I）求证：DE⊥平面ABCD；
（Ⅱ）若M为线段BE中点，N为线段CE的一个三等分点，求证：MN不可能与平面ABCD平行．

Answer 1

分析 （1）在平面ABCD内过A作CD的垂线AP，则AP⊥平面CDE，于是AP⊥DE，结合AD⊥DE，得出DE⊥平面ABCD；
（2）使用反证法证明，假设MN∥平面ABCD，由线面平行的性质得MN∥BC，与已知矛盾．

解答 证明：（1）过A作AP⊥CD，垂足为P，
∵平面ABCD⊥平面CDE，平面ABCD∩平面CDE=CD，AP?平面ABCD，AP⊥CD，
∴AP⊥平面CDE，∵DE?平面CDE，
∴AP⊥DE，又∵DE⊥AD，AD?平面ABCD，AP?平面ABCD，AD∩AP=A，
∴DE⊥平面ABCD．
（2）假设MN∥平面ABCD，
∵MN?平面BCE，平面BCE∩平面ABCD=BC，
∴MN∥BC，
∴$\frac{EM}{EB}=\frac{EN}{EC}$，
与M是BE的中点，N是CE的三等分点相矛盾．
∴MN不可能与平面ABCD平行．

点评 本题考查了线面垂直的判定，线面平行的性质，属于中档题．