Question

设a，b为实数，关于x的方程（x²-ax+1）（x²-bx+1）=0的4个实数根构成以q为公比的等比数列，若q∈[2-

3

，2]，则ab的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：等比数列的性质

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：利用等比数列的性质，确定方程的根，由韦达定理，表示出ab，再换元，转化为二次函数，即可确定ab的取值范围．

解答： 解：设4个实数根依次为m，mq，mq²，mq³，
由等比数列性质，不妨设m，mq³为x²-ax+1=0的两个实数根，则mq，mq²为方程x²-bx+1=0的两个根，
由韦达定理m²q³=1，m+mq³=a，mq+mq²=b，
故ab=（m+mq³）（mq+mq²）=m²（1+q³）（q+q²）=

1

q3

(1+q3)(q+q2)=(q+

1

q

+2)(q+

1

q

-1)，
设q+

1

q

=t，∵q∈[2-

3

，2]，∴t∈[2，4]，
故f（t）=（t+2）（t-1）的值域为[4，18]，即ab的取值范围是[4，18]．
故答案为：[4，18]．

点评：本题考查等比数列的性质，考查韦达定理，考查学生分析解决问题的能力，正确转化是关键．