Question

设函数f（x）=-

1

3

x3+

1

2

x2+2a²x．
（1）当a=1时，求f（x）在[-3，3]上的最值；
（2）若函数f（x）在(

2

3

，+∞)上存在单调递增区间，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）当a=1时，f′（x）=-x²+x+2，由此利用导数性质能求出f（x）在[-3，3]上的最值．
（2）由已知条件得f′（x）=-（x-2a）（x+a），由f′（x）≥0，得（x-2a）（x+a）≤0，由此结合已知条件能求出a的取值范围．

解答： 解：（1）当a=1时，f′（x）=-x²+x+2，
由f′（x）=0，得x=-1，或x=2，
x∈（-∞，-1）时，f′（x）＜0；x∈（-1，2）时，f′（x）＞0；x∈（2，+∞）时，f′（x）＜0．
∴f（x）_极小值=f（-1）=

1

3

+

1

2

-2=-

7

6

；
f（x）_极大值=f（2）=-

8

3

+2+4=

10

3

．
又f（-3）=-

3

2

，f（3）=

3

2

．
∴f（x）在[-3，3]上的最大值为

10

3

，最小值为-

3

2

．
（2）∵f（x）=-

1

3

x³+

1

2

ax²+2a²x（a∈R），
∴f′（x）=-x²+ax+2a²
=-（x-2a）（x+a），
由f′（x）≥0，得（x-2a）（x+a）≤0，
①当a=0时，有x²≤0，得x=0，不合题意；
②当a＞0时，有-a＜x＜2a，
∵f（x）在（

2

3

，+∞）上存在递增区间，
∴2a＞

2

3

，即a＞

1

3

；
③当a＜0时，有2a＜x＜-a，
∵f（x）在（

2

3

，+∞）上存在递增区间，
∴-a＞

2

3

，即a＜-

2

3

．
综上，a的取值范围为（-∞，-

2

3

）∪（

1

3

，+∞）．

点评：本题考查函数在闭区间上的最值的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的灵活运用．