Question

已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=1，（n+1）a_n=2S_n，
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b₁=2，b_n=a_n²-a²_n-1（n≥2），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由题意得n≥2时

an

an-1

=

n

n-1

，利用累乘法即可，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b_n=

2 n=1 2n-1 n≥2

，利用等差数列求和公式即可求得结论．

解答： 解：（Ⅰ）n≥2时，（n+1）a_n=2S_n，①
na_n-1=2s_n-1，②
由①-②得（n+1）a_n-na_n-1=2a_n，

an

an-1

=

n

n-1

，
∴a_n=a1•

a2

a1

•

a3

a2

…

an

an-1

=1×

2

1

×

3

2

×…×

n

n-1

=n，
即a_n=n．
（Ⅱ）n≥2时，b_n=a_n²-a²_n-1=n²-（n-1）²=2n-1
又b₁=2不满足上式，
∴b_n=

2 n=1 2n-1 n≥2

，
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=2+3+5+7+…+（2n-1）=1+

n(1+2n-1)

2

=n²+1．

点评：本题主要考查累乘法求数列的通项公式及等差数列求前n项和，考查学生的运算求解能力，属于基础题．