Question

已知函数f（x）=aln（2x+1）+bx+1．
（1）若函数y=f（x）在x=1处取得极值，且曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线与直线2x+y-3=0平行，求a和b的值；
（2）若b=

1

2

，试讨论函数y=f（x）的单调性．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,分类讨论,导数的综合应用

分析：（1）求出函数的导数，由题意得

f′(1)=0 f′(0)=-2

，列出a，b的方程，解出即可；
（2）求出b=

1

2

的函数的导数，对a讨论，分a≥0，a＜0，令导数大于0，得增区间；令导数小于0，得减区间，注意函数的定义域．

解答： 解：（1）∵f（x）=aln（2x+1）+bx+1，
∴f′（x）=

2bx+2a+b

2x+1

，x＞-

1

2

，
由题意可得

f′(1)=0 f′(0)=-2

，
即

2a+3b=0 2a+b=-2

   解得

a=- 3 2 b=1

；   
（2）b=

1

2

时，f（x）=aln（2x+1）+

1

2

x+1
∴f′（x）=

2x+4a+1

4x+2

，x＞-

1

2

，
∵4x+2＞0，∴当a≥0时，在定义域（-

1

2

，+∞）内f′（x）＞0恒成立，函数单调递增，
当a＜0时，由f′（x）＞0得x＞-2a-

1

2

，由f′（x）＜0得-

1

2

＜x＜-2a-

1

2

，
综上：当a≥0时，函数y=f（x）在（-

1

2

，+∞）上是增函数；
当a＜0时，函数y=f（x）在（-

1

2

，-2a-

1

2

）上为减函数，在（-2a-

1

2

，+∞）上是增函数．

点评：本题考查导数的综合应用：求切线方程和求单调区间以及极值，考查分类讨论的思想方法，以及运算求解能力，属于中档题．