Question

6．已知函数f（x）=|x-2|-|2x|+3．
（1）解不等式f（x）≥0；
（2）若对任意实数x，都有f（x）≥a-3|x|，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（2）问题转化为a≤|x-2|+|x|，根据绝对值的意义，求出a的范围即可．

解答 解：（1）f（x）≥0，即|x-2|-|2x|+3≥0，
x≤0时，2-x+2x+3≥0，解得：0≥x≥-5，
0＜x＜2时，2-x-2x+3≥0，解得：0＜x≤$\frac{5}{3}$，
x≥2时，x-2-2x+3≥0，解得：x≤1，无解，
综上，不等式的解集是[0，$\frac{5}{3}$]；
（2））若对任意实数x，f（x）≥a-3|x|，
即对任意实数x，|x-2|-|2x|+3≥a-3|x|，
即a≤|x-2|+|x|，
而|x-2|+|x|≥|x-2-x|=2，
故a≤2．

点评 本题考查了绝对值的性质，考查分类讨论思想，是一道中档题．