Question

7．已知二次函数f（x）=ax²+bx（a≠0），并且满足f（1+x）=f（1-x），且方程f（x）-x=0有且只有一个根．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若对任意的x∈[-2，2]，不等式f（x）≤m-$\frac{3}{2}$x²恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由f（1+x）=f（1-x），可知函数的对称轴为x=1，由f（x）-x=0有且只有一个根，得出△=（b-1）²=0，求出a，b的值；
（2）f（x）≤m-$\frac{3}{2}$x²恒成立，整理可得x²+x≤m恒成立，只需求出左式的最大值即可．

解答 解：（1）f（1+x）=f（1-x），
∴$-\frac{b}{2a}$=1，
f（x）-x=0有且只有一个根．
∴△=（b-1）²=0，
∴b=1，a=-$\frac{1}{2}$，
∴f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+x；
（2）f（x）≤m-$\frac{3}{2}$x²恒成立，
∴x²+x≤m恒成立，
∵x∈[-2，2]，
∴x²+x≤6，
∴m≥6．

点评 考查了二次函数的对称轴，根的个数问题，恒成立问题的转换．