Question

12．已知F是抛物线C：y²=-2x的焦点，过F且倾斜角为120°的直线l交抛物线C于A，B两点．
（1）求直线l的方程；
（2）求线段AB的长．

Answer 1

分析 （1）求出焦点坐标，利用点斜式求出直线的方程．
（2）直线方程代入抛物线的方程，利用根与系数的关系，由弦长公式求得|AB|．

解答 解：（1）由y²=-2x得其焦点F（-$\frac{1}{2}$，0）．
则过抛物线y²=-2x的焦点F且倾斜角为120°的直线方程为y=-$\sqrt{3}$×（x+$\frac{1}{2}$）．
可得直线方程为：$2\sqrt{3}x+2y+\sqrt{3}=0$．
（2）直线方程为y=-$\sqrt{3}$（x+$\frac{1}{2}$）代入抛物线方程，消去y，得12x²+32x+3=0．
设A（x₁，y₁），（x₂，y₂）
则x₁+x₂=$-\frac{8}{3}$，x₁x₂=$\frac{1}{4}$．
所以|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\sqrt{1+3}$•$\sqrt{（-\frac{8}{3}）^{2}-4×\frac{1}{4}}$=$\frac{2\sqrt{55}}{3}$．
线段AB的长：$\frac{2\sqrt{55}}{3}$．

点评 本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，弦长公式的应用，运用弦长公式是解题的难点和关键．