Question

20．已知f（x）=|x-1|+|x-3|+a（x²-2x），其中a≥0．
（1）若a=0，求f（x）的最小值；
（2）若存在实数x₀，使得f（x₀）=1，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用绝对值三角不等式，即可求f（x）的最小值；
（2）求出f（x）的最小值，即可求实数a的取值范围．

解答 解：（1）当a=0时，f（x）=|x-1|+|x-3|≥|（x-1）-（x-3）|=2，
当且仅当1≤x≤3时f（x）取得最小值2．（4分）
（2）设g（x）=|x-1|+|x-3|，h（x）=a（x²-2x），
则h（x）=a（x-1）²-a，即当x=1时，h（x）取得最小值-a，
由（1）知当1≤x≤3时，g（x）取最小值2，
所以f（x）=|x-1|+|x-3|+a（x²-2x）≥2-a（当x=1时取等号），
所以1≥2-a，解得a≥1．（10分）

点评 本题考查绝对值三角不等式，考查存在性问题，考查学生的计算能力，属于中档题．