Question

2．已知函数f（x）=|x-4|+a|x+2|（a∈R）的图象关于点（1，0）中心对称．
（1）求实数a的值；
（2）解不等式f（x）≥3．

Answer 1

分析 （1）利用f（4）+f（-2）=0，求实数a的值；
（2）分类讨论，去掉绝对值符号，即可解不等式f（x）≥3．

解答 解：（1）∵f（x）=|x-4|+a|x+2|的图象关于点（1，0）中心对称
∴f（4）+f（-2）=0，
∴6a+6=0
∴a=-1；
∴f（x）=|x-4|-|x+2|，
而f（2-x）=|（2-x）-4|-|（2-x）+2|=|x+2|-|x-4|=-f（x），
∴f（x）+f（2-x）=0，
故f（x）=|x-4|+a|x+2|的图象关于点（1，0）中心对称；
（2）f₁（x）=4-x+x+2=6 x≤-2
f₂（x）=4-x-x-2=2-2x-2≤x≤4
f₃（x）=x-4-x-2=-6 x≥4
∴x≤-2时，不等式f（x）＞3 恒成立
-2≤x≤4时，2-2x＞3，
∴x＜-$\frac{1}{2}$
x≥4，不等式f（x）＞3 恒不成立
∴不等式的解集为（-∞，-$\frac{1}{2}$）．

点评 本题考绝对值函数，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．