Question

15．已知函数f（x）=ax-1-lnx．（a∈R）
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若函数f（x）在x=2处的切线斜率为$\frac{1}{2}$，不等式f（x）≥bx-2对任意x∈（0，+∞）恒成立，求实数b的取值范围；
（Ⅲ）证明对于任意n∈N，n≥2有：$\frac{{ln{2^2}}}{2^2}$+$\frac{{ln{3^2}}}{3^2}$+$\frac{{ln{4^2}}}{4^2}$+…+$\frac{{ln{n^2}}}{n^2}$＜$\frac{{2{n^2}-n-1}}{2（n+1）}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，得到a=1，分离参数得到$b≤1+\frac{1}{x}-\frac{lnx}{x}$，令$g（x）=1+\frac{1}{x}-\frac{lnx}{x}$，根据函数的单调性求出g（x）的最小值，从而求出b的范围即可；
（Ⅲ）当n≥2时，得到lnn²＜n²-1，根据放缩法证明即可．

解答 解：（Ⅰ）∵函数f（x）的定义域为（0，+∞），
$f'（x）=a-\frac{1}{x}=\frac{ax-1}{x}$…（1分）
当a≤0时，ax-1＜0，从而f'（x）＜0，
故函数f（x）在（0，+∞）上单调递减  …（2分）
当a＞0时，若$0＜x＜\frac{1}{a}$，则ax-1＜0，从而f'（x）＜0，…（3分）
若$x＞\frac{1}{a}$，则ax-1＞0，从而f'（x）＞0，…（4分）
故函数f（x）在$（0，\frac{1}{a}）$上单调递减，在$（\frac{1}{a}，+∞）$上单调递增；                 …（5分）
（Ⅱ）求导数：$f'（x）=a-\frac{1}{x}$，
∴$f'（2）=a-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，解得a=1．                                 …（6分）
所以f（x）≥bx-2，即x-1-lnx≥bx-2，
由于x＞0，即$b≤1+\frac{1}{x}-\frac{lnx}{x}$．…（7分）
令$g（x）=1+\frac{1}{x}-\frac{lnx}{x}$，则$g'（x）=-\frac{1}{x^2}-\frac{1-lnx}{x^2}=\frac{lnx-2}{x^2}$，
当0＜x＜e²时，g'（x）＜0；当x＞e²时，g'（x）＞0
∴g（x）在（0，e²）上单调递减，在（e²，+∞）上单调递增；                …（9分）
故$g{（x）_{min}}=g（{e^2}）=1-\frac{1}{e^2}$，
所以实数b的取值范围为$（-∞，1-\frac{1}{e^2}]$…（10分）
（3）证明：由当a=1，x＞1时，$f'（x）=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}＞0$，f（x）为增函数，
∵f（1）=0∴f（x）=x-1-lnx＞0即lnx＜x-1…（11分）
∴当n≥2时，lnn²＜n²-1，…（12分）
∴$\frac{{ln{n^2}}}{n^2}＜\frac{{{n^2}-1}}{n^2}＜1-\frac{1}{n（n+1）}=1-\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}$                       …（13分）
$\frac{{ln{2^2}}}{2^2}+\frac{{ln{3^2}}}{3^2}+\frac{{ln{4^2}}}{4^2}+…+\frac{{ln{n^2}}}{n^2}＜（1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}）+（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}）+…+（1-\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}）$
=$n-1-\frac{1}{2}+\frac{1}{n+1}=\frac{{2{n^2}-n-1}}{2（n+1）}$
∴$\frac{{ln{2^2}}}{2^2}+\frac{{ln{3^2}}}{3^2}+\frac{{ln{4^2}}}{4^2}+…+\frac{{ln{n^2}}}{n^2}＜\frac{{2{n^2}-n-1}}{2（n+1）}$（n∈N^*，n≥2）．    …（14分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查分类讨论思想，是一道综合题．