Question

过定点M（1，2）作两条相互垂直的直线l₁、l₂，设原点到直线l₁、l₂的距离分别为d₁、d₂，则d₁+d₂的最大值是

 

．

Answer 1

考点：点到直线的距离公式

专题：直线与圆

分析：由题意易得d₁²+d₂²=5，可设d₁=

5

cosθ，d₂=

5

sinθ，可得d₁+d₂=

10

sin（θ+φ），由三角函数的最值可得．

解答： 解：作OP⊥l₁交l₁于点P，作OQ⊥l₂交l₂于点Q，可得四边形OPMQ为矩形，
∴d₁²+d₂²=OM²=1²+2²=5，故可设d₁=

5

cosθ，d₂=

5

sinθ
∴d₁+d₂=

5

cosθ+

5

sinθ=

10

sin（θ+φ），其中tanφ=1，
∴当sin（θ+φ）取最大值1时，d₁+d₂=

10

sin（θ+φ）取最大值

10

故答案为：

10

点评：本题考查点到直线的距离，三角代换是解决问题的关键，属基础题．