Question

12．已知菱形ABCD的边长为4，∠ABC=120°，若在菱形内任取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离大于1的概率$1-\frac{{\sqrt{3}π}}{24}$．

Answer 1

分析 以菱形ABCD的各个顶点为圆心、半径为1作圆如图所示，可得当该点位于图中阴影部分区域时，它到四个顶点的距离均大于1．因此算出菱形ABCD的面积和阴影部分区域的面积，利用几何概型计算公式加以计算，即可得到所求的概率．

解答 解：分别以菱形ABCD的各个顶点为圆心，作半径为1的圆，如图所示．
在菱形ABCD内任取一点P，则点P位于四个圆的外部时，
满足点P到四个顶点的距离均大于1，即图中的阴影部分区域
∵S_菱形ABCD=AB•BCsin120°=4×4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=8$\sqrt{3}$，
∴S_阴影=S_菱形ABCD-S_空白=8$\sqrt{3}$-π×1²=8$\sqrt{3}$-π．
因此，该点到四个顶点的距离大于1的概率P=$\frac{{S}_{阴影}}{{S}_{菱形}}$=$1-\frac{{\sqrt{3}π}}{24}$，
故答案为：$1-\frac{{\sqrt{3}π}}{24}$．

点评 本题主要考查几何概型的概率的计算，根据对应分别求出对应区域的面积是解决本题的关键．