Question

17．已知圆$A：{（x+\sqrt{2}）^2}+{y^2}=12$，圆A内一定点$B（\sqrt{2}，0）$，圆P过点B且与圆A内切．
（Ⅰ）求圆心P的轨迹方程；
（Ⅱ）若直线y=kx+2与点P的轨迹交于C，D两点．问是否存在常数k，使得以CD为直径的圆过坐标原点O，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设动圆圆心P，半径为r，利用两圆相切内切，两圆心距和两半径之间的关系列出PA和PB的关系式，正好符合椭圆的定义，利用定义法求轨迹方程即可．
（Ⅱ）假设存在这样的k，则直线方程可得与椭圆方程联立根据判别式求得k的范围，设出C，D点坐标，则根据韦达定理可表示出x₁+x₂和x₁x₂，当且仅当OC⊥OD时，以CD为直径的圆过原点O（0，0），求得y₁y₂+x₁x₂=0，根据直线方程和x₁x₂的表达式求得y₁y₂，建立等式求得k．

解答 解：（Ⅰ）设动圆圆心P（x，y），半径为r，⊙A的圆心为A（-$\sqrt{2}$，0），半径为2$\sqrt{3}$，
又因为动圆过点B，所以r=PB，
若动圆P与⊙A相内切，则有PA=2$\sqrt{3}$-r=2$\sqrt{3}$-PB，即PA+PB=2$\sqrt{3}$＞AB=2$\sqrt{2}$
故P点的轨迹为以A和B为焦点的椭圆，且a=$\sqrt{3}$，c=$\sqrt{2}$，所以b²=a²-c²=1
所以动圆圆心的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}$=1；
（Ⅱ）假设存在这样的k，
由直线y=kx+2与点P的轨迹方程联立，消去y，得（1+3k²）x²+12kx+9=0
则△=（12k）²-36（1+3k²）＞0①
设C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），则x₁+x₂=-$\frac{12k}{1+3{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{9}{1+3{k}^{2}}$
当且仅当OC⊥OD时，以CD为直径的圆过原点O（0，0），
即y₁y₂+x₁x₂=0
而y₁•y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4．
∴（k²+1）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=0． ③
将②式代入③整理解得k=±$\frac{\sqrt{39}}{3}$
经验证，k=±$\frac{\sqrt{39}}{3}$，使①成立
综上可知，存在k=±$\frac{\sqrt{39}}{3}$，使得以CD为直径的圆过原点O（0，0）．

点评 本题考查两圆的位置关系的应用和定义法求轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，综合性较强．