题目内容
如图所示的多面体中，ABCD是菱形，BDEF是矩形，ED⊥面ABCD，∠BAD=| π |
| 3 |
（1）求证：平面BCF∥面AED；
（2）若BF=BD=a，求四棱锥A-BDEF的体积．
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,平面与平面平行的性质
专题：综合题,空间位置关系与距离
分析：（1）证明FB∥平面AED，BC∥平面AED，利用面面平行的判定定理可得结论；
（2）连接AC，AC∩BD=O，证明AO⊥面BDEF，即可求出四棱锥A-BDEF的体积．
（2）连接AC，AC∩BD=O，证明AO⊥面BDEF，即可求出四棱锥A-BDEF的体积．
解答：
（1）
证明：∵ABCD是菱形，
∴BC∥AD，
∵BC?面ADE，AD?面ADE，
∴BC∥面ADE…（3分）
∵BDEF是矩形，∴BF∥DE，
∵BF?面ADE，DE?面ADE，
∴BF∥面ADE，
∵BC?面BCF，BF?面BCF，BC∩BF=B，
∴面BCF∥面ADE…（6分）
（2）解：连接AC，AC∩BD=O
∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD
∵ED⊥面ABCD，AC?面ABCD，
∴ED⊥AC，
∵ED，BD?面BDEF，ED∩BD=D，
∴AO⊥面BDEF，…（10分）
∴AO为四棱锥A-BDEF的高
由ABCD是菱形，∠BAD=
，则△ABD为等边三角形，
由BF=BD=a，则AD=a，AO=
a，
∵SBDEF=a2，
∴VA-BDEF=
•a2•
a=
a3…（14分）
证明：∵ABCD是菱形，∴BC∥AD，
∵BC?面ADE，AD?面ADE，
∴BC∥面ADE…（3分）
∵BDEF是矩形，∴BF∥DE，
∵BF?面ADE，DE?面ADE，
∴BF∥面ADE，
∵BC?面BCF，BF?面BCF，BC∩BF=B，
∴面BCF∥面ADE…（6分）
（2）解：连接AC，AC∩BD=O
∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD
∵ED⊥面ABCD，AC?面ABCD，
∴ED⊥AC，
∵ED，BD?面BDEF，ED∩BD=D，
∴AO⊥面BDEF，…（10分）
∴AO为四棱锥A-BDEF的高
由ABCD是菱形，∠BAD=
| π |
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由BF=BD=a，则AD=a，AO=
| ||
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∵SBDEF=a2，
∴VA-BDEF=
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| 2 |
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| 6 |
点评：本题考查线面平行、面面平行，考查四棱锥的体积，考查学生分析解决问题的能力，正确运用线面平行、面面平行是关键．
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