Question

在数列中，已知，，(，)．
（1）当，时，分别求的值，判断是否为定值，并给出证明；
（2）求出所有的正整数，使得为完全平方数．

Answer 1

（1）()．（2）当时，满足条件.

试题分析：（1）第一步是归纳，分别进行计算. 由已知得，．所以时，；当时，．第二步猜想，()．第三步证明，本题可用数学归纳法证，也可证等式恒成立，（2）探求整数解问题，一般要构造一个可说明的整式. 设，则，又，且501=1501=3167，故 或所以 或
由解得；由得无整数解．所以当时，满足条件．
试题解析：（1）由已知得，．
所以时，；当时，．      2分
猜想：()．                                   3分
下面用数学归纳法证明：
①当时，结论成立．
②假设当时，结论成立，即，
将代入上式，可得．
则当时，
．
故当结论成立，
根据①,②可得，()成立．                        5分
（2）将代入，得，
则，，
设，则，
即，                                   7分
又，且501=1501=3167，
故 或
所以 或
由解得；由得无整数解．
所以当时，满足条件．                                          10分