Question

已知数列{a_n}满足a₁=3¹²，且3a_n+1=a_n（n∈N^*，n≥1）
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记数列b_n=|log₃a_n|，且数列{b_n}的前n项和为T_n，求T₃₀；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，问从第几项开始数列{b_n}中的连续20项之和等于102？

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件求出q=

1

3

，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由an=313-n，知b_n=|13-n|，由此能求出T₃₀的值．
（Ⅲ）b_n=|13-n|，记数列{b_n}从第k项开始的连续20项和为T_k=b_k+b_k+1+…+b_k+19，由此能求出结果．

解答： （本小题14分）
解：（Ⅰ）∵数列{a_n}满足a₁=3¹²，且3a_n+1=a_n，∴q=

1

3

，
∴an=312×(

1

3

)n-1=3^13-n．…（4分）
（Ⅱ）∵an=313-n，
∴b_n=|13-n|，
∴T₃₀=12+11+…+1+0+1+…+17
=

12

2

(1+12)+

17

2

(1+17)=231．…（8分）
（Ⅲ）b_n=|13-n|，
记数列{b_n}从第k项开始的连续20项和
为T_k=b_k+b_k+1+…+b_k+19，
若k≥13，则T_k≥0+1+2+…+19=190＞102，…（10分）
∴k＜13，
∴T_k=b_k+b_k+1+…+b₁₂+b₁₃+b₁₄+…+b_k+19，
∴T_k=（13-k）+（12-k）+…+1+0+1+…+（k+6）

= 1 2 [(13-k)+1](13-k)+ 1 2 [1+(k+6)](k+6) =k2-7k+112

∴k²-7k+112=102，解得k=2或k=5．
∴从第2项或第5项开始数列{b_n}中的连续20项之和等于102．…（14分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法及其应用，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．