Question

已知函数f（x）=

ex

ex

，g（x）=mx-lnx-tm．
（1）求函数f（x）在x∈（0，+∞）上的值域；
（2）若m∈[

e

，e²]，对?x₁，x₂∈（0，+∞），f（x₁）≤g（x₂）恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）求导数，列出表格，由导数符号可求函数的最大值；
（2）问题等价于f（x）_max≤g（x）_min，由（1）知f（x）_max=1，利用导数可求得g（x）_min=1+lnm-tm，则只需1+lnm-tm≥1⇒t≤

lnm

m

在m∈[

e

，e2]上恒成立，再化为函数最值即可，构造函数利用导数可求得最值；

解答： 解：（1）f′(x)=

e•ex-ex•ex

(ex)2

=

e(1-x)

ex

，
令f'（x）=0，得x=1，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x	x∈（0，1）	x=1	x∈（1，+∞）
f′（x）	+	0	-
f（x）	↑	极大	↓

f（x）_max=f（x）_极大=f（1）=1，
又f（x）＞0，∴函数f（x）的值域为（0，1]．
（2）依题意f（x）_max≤g（x）_min，
而f（x）_max=1，g′(x)=m-

1

x

=

mx-1

x

，由于m∈[

e

，e2]，
故当g'（x）=0时，x=

1

m

，

x	x∈(0， 1 m )	x= 1 m	x∈( 1 m ，+∞)
g'（x）	-	0	+
g（x）	↓	极小	↑

∴g（x）_min=g（x）_极小=g（

1

m

）=1-ln

1

m

-tm=1+lnm-tm，
∴1+lnm-tm≥1⇒t≤

lnm

m

在m∈[

e

，e2]上恒成立，
设ϕ(m)=

lnm

m

，ϕ′(m)=

1-lnm

m2

，令ϕ′(m)=

1-lnm

m2

=0得m=e，

m	m= e	m∈( e ，e)	m=e	x∈（e，e2）	m=e2
ϕ'（m）		+	0	-
ϕ（m）	1 2 e	↑	极大	↓	2 e2

又

1

2 e

＞

2

e2

，∴ϕ(m)min=

2

e2

，
∴t≤

2

e2

．

点评：该题考查利用导数研究函数的最值、单调性，考查函数恒成立，考查转化思想，恒成立问题往往化为函数最值解决．