Question

7．定义在[-4，4]上的奇函数f（x），已知当x∈[-4，0]时，f（x）=$\frac{1}{4^x}$+$\frac{a}{3^x}$（a∈R）．
（1）求f（x）在[0，4]上的解析式；
（2）若x∈[-2，-1]时，不等式f（x）≤$\frac{m}{2^x}$-$\frac{1}{{{3^{x-1}}}}$恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据奇函数的性质即可求出a，设x∈[0，4]，-x∈[-4，0]，易求f（-x），根据奇函数性质可得f（x）与f（-x）的关系；
（2）分离参数，构造函数，求出函数的最值问题得以解决．

解答 解：（1）f（x）是定义在[-4，4]上的奇函数，
∴f（0）=1+a=0，
∴a=-1，
∵$f（x）=\frac{1}{4^x}-\frac{1}{3^x}$，
设x∈[0，4]，
∴-x∈[-4，0]，
∴$f（x）=-f（-x）=-[{\frac{1}{{{4^{-x}}}}-\frac{1}{{{3^{-x}}}}}]={3^x}-{4^x}$，
∴x∈[0，4]时，f（x）=3^x-4^x
（2）∵x∈[-2，-1]，$f（x）≤\frac{m}{2^x}-\frac{1}{{{3^{x-1}}}}$，
即$\frac{1}{4^x}-\frac{1}{3^x}≤\frac{m}{2^x}-\frac{1}{{{3^{x-1}}}}$
即$\frac{1}{4^x}+\frac{2}{3^x}≤\frac{m}{2^x}$x∈[-2，-1]时恒成立，
∵2^x＞0，
∴${（{\frac{1}{2}}）^x}+2•{（{\frac{2}{3}}）^x}≤m$，
∵$g（x）={（{\frac{1}{2}}）^x}+2•{（{\frac{2}{3}}）^x}$在R上单调递减，
∴x∈[-2，-1]时，$g（x）={（{\frac{1}{2}}）^x}+2•{（{\frac{2}{3}}）^x}$的最大值为$g（-2）={（{\frac{1}{2}}）^{-2}}+2•{（{\frac{2}{3}}）^{-2}}=\frac{17}{2}$，
∴$m≥\frac{17}{2}$．

点评 本题考查函数的奇偶性及其应用，不等式恒成立的问题，考查学生解决问题的能力，属于中档题．