Question

12．如图所示，A是函数f（x）=2^x的图象上的动点，过点A作直线平行于x轴，交函数g（x）=2^x+2的图象于点B，若函数f（x）=2^x的图象上存在点C使得△ABC为等边三角形，则称A为函数f（x）=2^x上的好位置点．函数f（x）=2^x上的好位置点的个数为（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 大于2

Answer 1

分析 根据题意，设出A、B、C的坐标，由线段AB∥x轴，△ABC是等边三角形，x=log₂（m-$\sqrt{3}$）=log₂m-1，求出m的值，计算出结果．

解答 解：根据题意，设A，B的纵坐标为m，
则A（log₂m，m），B（log₂m-2，m），
∴AB=log₂m-log₂m+2=2，
设C（x，2^x），
∵△ABC是等边三角形，
∴点C到直线AB的距离为$\sqrt{3}$，
∴m-2^x=$\sqrt{3}$，
∴x=log₂（m-$\sqrt{3}$），
∴x=$\frac{1}{2}$（log₂m+log₂m-2）=log₂m-1，
∴log₂（m-$\sqrt{3}$）=log₂m-1=log₂$\frac{m}{2}$，
∴m-$\sqrt{3}$=$\frac{m}{2}$，
解得m=2$\sqrt{3}$，
∴x=log₂（m-$\sqrt{3}$）=log₂$\sqrt{3}$，
函数f（x）=2^x上的好位置点的个数为1个，
故选：B．

点评 本题考查了指数函数图象与性质的应用问题，也考查了指数，对数的运算问题，属于中档题．