Question

10．如图，已知圆柱的高为4，AA₁，BB₁，CC₁是圆柱的三条母线，AB是底面圆O的直径，AC=3，AB=5．
（1）求证：AC₁∥平面COB₁；
（2）求二面角A-BC₁-C的正切值．

Answer 1

分析 （1）建立空间直角坐标系C-XYZ，求出平面COB₁的一个法向量，证明$\overrightarrow{A{C_1}}⊥\overrightarrow n$，推出AC₁∥平面COB₁
（2）求出平面ABC₁的一个法向量$\overrightarrow{n_1}=（{4，3，3}）$，平面BCC₁的一个法向量，设二面角A-BC₁-C为θ，利用向量的数量积求解二面角 A-BC₁-C的正切值．

解答 解：由AB是⊙o直径，可知AC⊥BC，故由AC=3，AB=5
可得：BC=4，以点C为坐标原点建立空间直角坐标系C-XYZ（如图）

则$A（{3，0，0}），B（{0，4，0}），{C_1}（{0，0，4}），O（{\frac{3}{2}，2，0}），{B_1}（{0，4，4}）$
（1）由$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow{CO}=（{\frac{3}{2}，2，0}）}\\{\overrightarrow{C{B_1}}=（{0，4，4}）}\end{array}}\right.$，可得平面COB₁的一个法向量$\overrightarrow n=（{4，-3，3}）$
又$\overrightarrow{A{C_1}}=（{-3，0，4}）$，
∴$\overrightarrow{A{C_1}}•\overrightarrow n=-3×4+0×（-3）+4×3=0$，
∴$\overrightarrow{A{C_1}}⊥\overrightarrow n$
又AC₁?平面COB₁
∴AC₁∥平面COB₁
（2）由$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow{B{C_1}}=（{0，-4，4}）}\\{\overrightarrow{BA}=（{3，-4，0}）}\end{array}}\right.$，可得平面ABC₁的一个法向量$\overrightarrow{n_1}=（{4，3，3}）$，
由$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow{B{C_1}}=（{0，-4，4}）}\\{\overrightarrow{BC}=（{0，-4，0}）}\end{array}}\right.$，可得平面BCC₁的一个法向量$\overrightarrow{n_2}=（{1，0，0}）$
设二面角A-BC₁-C为θ，则$cosθ=cos＜\overrightarrow{n_1}，\overrightarrow{n_2}＞=\frac{{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}}}{{\left|{\left.{\overrightarrow{n_1}}\right|}\right.\left|{\left.{\overrightarrow{n_2}}\right|}\right.}}=\frac{4}{{\sqrt{34}}}$
$sinθ=\sqrt{1-{{cos}^2}θ}=\frac{{3\sqrt{2}}}{{\sqrt{34}}}$，$tanθ=\frac{sinθ}{cosθ}=\frac{{3\sqrt{2}}}{4}$．
即二面角 A-BC₁-C的正切值为：$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面平行的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．