Question

20．已知直线l₁：3x-4y-4=0与直线l₂：（a+7）x+ay+6=0（a∈R）平行．
（1）求a的值；
（2）若圆心在直线l：y=x+1上的圆与直线l₁，l₂均相切，求圆的方程．

Answer 1

分析 （1）利用两条直线平行的条件，即可求a的值；
（2）设直线l₁与直线l的交点为A，由$\left\{\begin{array}{l}3x-4y-4=0\\ y=x+1\end{array}\right.$得A（-8，-7），设直线l₂与直线l的交点为B，由$\left\{\begin{array}{l}3x-4y+6=0\\ y=x+1\end{array}\right.$得B（2，3），线段AB的中点就是圆心，即可求圆的方程．

解答 解：（1）∵直线l₁：3x-4y-4=0与直线l₂：（a+7）x+ay+6=0（a∈R）平行，
∴$\frac{a+7}{3}=\frac{a}{-4}≠\frac{6}{-4}$，…（3分）
解得a=-4．…（5分）
（2）设直线l₁：3x-4y-4=0与直线l₂：3x-4y+6=0的距离为d，
在直线l₁上取点（0，-1），∴$d=\frac{{|3×0-4×（{-1}）+6|}}{{\sqrt{{3^2}+{{（{-4}）}^2}}}}=2$，…（7分）
∴圆的半径为$\frac{d}{2}=1$．…（8分）
设直线l₁与直线l的交点为A，由$\left\{\begin{array}{l}3x-4y-4=0\\ y=x+1\end{array}\right.$得A（-8，-7），…（9分）
设直线l₂与直线l的交点为B，由$\left\{\begin{array}{l}3x-4y+6=0\\ y=x+1\end{array}\right.$得B（2，3），…（10分）
∵线段AB的中点就是圆心∴圆心坐标为（-3，-2），…（11分）
∴所求圆的方程为（x+3）²+（y+2）²=1，即x²+y²+6x+4y+12=0．…（12分）

点评 本题考查直线与直线的位置关系，考查圆的方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．