Question

5．（1）求证：函数y=x+$\frac{a}{x}$有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在（0，$\sqrt{a}$]上是减函数，在[$\sqrt{a}$，+∞）上是增函数．
（2）若f（x）=$\frac{{4{x^2}-12x-3}}{2x+1}$，x∈[0，1]，利用上述性质，求函数f（x）的值域；
（3）对于（2）中的函数f（x）和函数g（x）=-x-2a，若对任意x₁∈[0，1]，总存在x₂∈[0，1]，使得g（x₂）=f（x₁），求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）利用函数的单调性的定义，直接证明即可．
（2）转化函数的表达式为（1）的函数的形式，然后求解函数的值域即可．
（3）利用函数的值域以及子集关系，列出不等式组求解即可．

解答 解：（1）证明：设$h（x）=x+\frac{a}{x}$，任取x₁，x₂∈（0，$\sqrt{a}$]且x₁＜x₂，$h（{x_1}）-h（{x_2}）={x_1}+\frac{a}{x_1}-（{x_2}+\frac{a}{x_2}）=\frac{{（{x_1}-{x_2}）（{x_1}{x_2}-a）}}{{{x_1}{x_2}}}$，
显然，x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，x₁x₂-a＜0，∴h（x₁）-h（x₂）＞0，即该函数在∈（0，$\sqrt{a}$]上是减函数；
同理，对任意x₁，x₂∈[$\sqrt{a}$，+∞）且x₁＜x₂，h（x₁）-h（x₂）＜0，即该函数在[$\sqrt{a}$，+∞）上是增函数；
（2）解：$y=f（x）=\frac{{4{x^2}-12x-3}}{2x+1}=2x+1+\frac{4}{2x+1}-8$，设u=2x+1，x∈[0，1]，1≤u≤3，
则$y=u+\frac{4}{u}-8$，u∈[1，3]．
由已知性质得，当1≤u≤2，即$0≤x≤\frac{1}{2}$时，f（x）单调递减，所以减区间为$[0，\frac{1}{2}]$；
同理可得增区间为$[\frac{1}{2}，1]$；
由f（0）=-3，$f（\frac{1}{2}）=-4$，$f（1）=-\frac{11}{3}$，得f（x）的值域为[-4，-3]．
（3）g（x）=-x-2a为减函数，故g（x）∈[-1-2a，-2a]，x∈[0，1]．
由题意，f（x）的值域是g（x）的值域的子集，∴$\left\{\begin{array}{l}-1-2a≤-4\\-2a≥-3\end{array}\right.$，
∴$a=\frac{3}{2}$．

点评 本题考查函数的恒成立，函数的单调性的证明与应用，考查转化思想以及计算能力．