Question

16．在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且三角形的面积为S=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$accosB．
（1）求角B的大小；
（2）已知a²+c²=4ac，求sinAsinC的值．

Answer 1

分析 （1）利用三角形面积计算公式即可得出．
（2）利用余弦定理与足下登录即可得出．

解答 解：（1）在三角形ABC中，$\frac{1}{2}acsinB=\frac{{\sqrt{3}}}{2}accosB$，
∴$tanB=\sqrt{3}$，
∵B为三角形内角，
∴0＜B＜π，∴$B=\frac{π}{3}$．
（2）∵a²+c²=4ac，又∵a²+c²=b²+2accosB，∴b²+2accosB=4ac，
∵$B=\frac{π}{3}$，
∴b²=3ac．
由正弦定理可得sin²B=3sinA sinC，
∵$B=\frac{π}{3}$，
∴$sinAsinC=\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．