Question

5．已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，对?x∈R都有f（x-3）=f（x-1）成立，当，x∈（0，1]且x₁≠x₂时，有$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜0，给出下列命题：
（1）f（x）在[-2，2]上有5个零点
（2）点（2016，0）是函数y=f（x）的一个对称中心
（3）直线x=2016是函数y=f（x）图象的一条对称轴
（4）f（9.2）＜f（π）
则正确的是（1）（2）（4）．

Answer 1

分析 （1）利用函数y=f（x）是定义在R上的奇函数可知f（0）=0，且函数y=f（x）是以2为周期的函数，并在区间（0，1]上单调递减，从而可判断出f（x）在[-2，2]上有5个零点；
（2）依题意，知点（0，0）为其对称中心，利用其周期性可知点（2016，0）是函数y=f（x）的一个对称中心；
（3）作出函数y=f（x）的图象可知直线x=2016不是函数y=f（x）图象的一条对称轴；
（4）利用函数y=f（x）的周期性与在区间[1，2）上为减函数可判断出f（9.2）＜f（π）．

解答 解：对于（1），∵函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（0）=0，
又f（x-3）=f（x-1），∴函数y=f（x）是以2为周期的函数，
且f（1-3）=f（1-1），即f（-2）=f（0）=0，又f（2）=-f（-2），∴f（2）=0；
同理可得，f（1）=f（-1）=0，
又当x∈（0，1]且x₁≠x₂时，有$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜0，即奇函数y=f（x）在区间（0，1]上单调递减，故函数y=f（x）在区间[-1，0）上也单调递减，
由函数y=f（x）是以2为周期的函数可知函数y=f（x）在区间（-2，-1]、[1，2）上单调递减，
∴f（x）在区间[-2，2]上有±1、0、±2共5个零点，故（1）正确；
对于（2），∵函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，∴（0，0）为其对称中心，
又函数y=f（x）的是以2为周期的函数，
∴点（2016，0）是函数y=f（x）的一个对称中心，故（2）正确；
对于（3），作出函数y=f（x）的图象如下：

（3）直线x=2016不是函数y=f（x）图象的一条对称轴，故（3）错误；
对于（4），∵函数y=f（x）的是以2为周期的函数且在区间[1，2）上为减函数，
∴f（9.2）=f（1.2）＜f（π-2）=f（π），故（4）正确．
综上所述，正确的是：（1）（2）（4），
故答案为：（1）（2）（4）．

点评 本题考查抽象函数及其应用，着重考查函数的单调性、周期性、对称性的综合应用，考查等价转化思想与数形结合思想的运用，考查推理运算能力，属于难题．