Question

19．已知数列{a_n}的首项为2，且数列{a_n}满足${a_{n+1}}=\frac{{{a_n}-1}}{{{a_n}+1}}$，设数列{a_n}的前n项和为S_n，则S₂₀₁₇=（　　）

• A． -586
• B． -588
• C． -590
• D． -504

Answer 1

分析 a₁=2，${a_{n+1}}=\frac{{{a_n}-1}}{{{a_n}+1}}$⇒${a}_{2}=\frac{{a}_{1}-1}{{a}_{1}+1}=\frac{1}{3}$，${a}_{3}=\frac{{a}_{2}-1}{{a}_{2}+1}=-\frac{1}{2}$，${a}_{4}=\frac{{a}_{3}-1}{{a}_{3}+1}=-3$，${a}_{5}=\frac{{a}_{4}-1}{{a}_{4}+1}=2$…可得数列{a_n}是周期为4的周期数列，即可求解．

解答 解：∵a₁=2，${a_{n+1}}=\frac{{{a_n}-1}}{{{a_n}+1}}$，∴${a}_{2}=\frac{{a}_{1}-1}{{a}_{1}+1}=\frac{1}{3}$，${a}_{3}=\frac{{a}_{2}-1}{{a}_{2}+1}=-\frac{1}{2}$，${a}_{4}=\frac{{a}_{3}-1}{{a}_{3}+1}=-3$，
${a}_{5}=\frac{{a}_{4}-1}{{a}_{4}+1}=2$…可得数列{a_n}是周期为4的周期数列．
S₂₀₁₇=$504×（2+\frac{1}{3}-\frac{1}{2}-3）+2=-586$，
故选：A．

点评 本题考查了数列的递推式，考查了归纳推理能力，属于中档题．