Question

18．已知数列{a_n}，a₄=28，且满足$\frac{{a}_{n+1}+{a}_{n}-1}{{a}_{n+1}-{a}_{n}+1}$=n．
（1）求a₁，a₂，a₃的值；
（2）试猜想数列{a_n}的通项公式，并证明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）代值计算可求出a₁，a₂，a₃的值，
（2）根据前四项的值可猜想数列{a_n}的通项公式，根据数学归纳法的步骤进行证明即可

解答 解：（1）a₃=15；a₂=6；a₁=1，
（2）猜想得：a_n=n（2n-1）
①由（1）知当n=1时，猜想显然成立；
②假设当n=k，k∈N*猜想成立，即a_k=k（2k-1），
∵$\frac{{a}_{k+1}+{a}_{k}-1}{{a}_{k+1}-{a}_{k}+1}$=k$⇒（k-1）{a_{k+1}}=2{k^3}+{k^2}-2k-1=（2k+1）（{k^2}-1）$，
∴a_k+1=（2k+1）（k+1）=[2（k+1）-1]（k+1），
∴当n=k+1时猜想也成立
综合①②得数列{a_n}的通项公式为a_n=n（2n-1）．

点评 本题主要考查了递推关系，以及数学归纳法的应用，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．