题目内容
5．对数列{an}，{bn}，若区间[an，bn]满足下列条件：①$[{{a_{n+1}}，{b_{n+1}}}]?[{{a_n}，{b_n}}]（{n∈{N^*}}）$；
②$\lim_{n→+∞}（{{b_n}-{a_n}}）=0$；则[an，bn]为区间套，
下列可以构成区间套的数列是（ ）
| A． | ${a_n}={（{\frac{1}{2}}）^n}，{b_n}={（{\frac{2}{3}}）^n}$ | B． | ${a_n}={（{\frac{1}{3}}）^n}，{b_n}=\frac{n}{{{n^2}+1}}$ | ||
| C． | ${a_n}=\frac{n-1}{n}，{b_n}=1+{（{\frac{1}{3}}）^n}$ | D． | ${a_n}=\frac{n+3}{n+2}，{b_n}=\frac{n+2}{n+1}$ |
分析 直接利用已知条件，判断选项是否满足两个条件即可．
解答 解：由题意，对于A，${a_n}={（{\frac{1}{2}}）^n}，{b_n}={（{\frac{2}{3}}）^n}$，an+1＜an，∴[an+1，bn+1]?[an，bn]（n∈N*）不成立，所以A不正确；
对于B，an+1＜an，∴[an+1，bn+1]?[an，bn]（n∈N*）不成立，所以B不正确；
对于C，∵an+1＞an，bn＞bn+1，∴[an+1，bn+1]?[an，bn]（n∈N*）成立，并且$\lim_{n→+∞}（{{b_n}-{a_n}}）=0$，所以C正确；
对于D，∵an+1＜an，bn＞bn+1，∴[an+1，bn+1]?[an，bn]（n∈N*）不成立，所以D不正确；
故选：C．
点评 本题考查数列的极限，数列的单调性的应用，考查分析问题解决问题的能力．
练习册系列答案
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| A． | π | B． | $\frac{3π}{4}$ | C． | $\frac{3π}{2}$ | D． | $\frac{5π}{4}$ |
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| A． | （-∞，4） | B． | （-4，4] | C． | （-∞，-4）∪[2，+∞） | D． | [-4，2） |