题目内容
有下列命题：
①存在α∈（0，
），使sinα+cosα=
；
②存在区间（a，b），使y=cosx为减函数而sinx＜0；
③y=tanx在其定义域内为增函数；
④若|
+
|=|
|-|
|，则
⊥
；
⑤已知P为△ABC的外心，若
+
+
=
，则△ABC为正三角形；
⑥
，
，
互不共线，则（
•
）•
-（
•
）•
=0．
以上命题错误的为 ．
①存在α∈（0，
| π |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
②存在区间（a，b），使y=cosx为减函数而sinx＜0；
③y=tanx在其定义域内为增函数；
④若|
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
⑤已知P为△ABC的外心，若
| PA |
| PB |
| PC |
| 0 |
⑥
| a |
| b |
| c |
| a |
| b |
| c |
| c |
| a |
| b |
以上命题错误的为
考点：命题的真假判断与应用
专题：应用题
分析：①由单位圆中三角函数线知为错误命题；
②由函数y=cosx减区间为[2kπ，2kπ+π]，而此时sinx≥0；
③取x1=0，x2=π，x1＜x2，但y1=y2，不符合增函数的定义；
④将|
+
|=|
|-|
|两边平方并整理可得2
•
=-2|
||
|，cosθ=-1，θ=π，
，
为反向向量，
⑤若
+
+
=
，P为△ABC的重心，结合P为△ABC的外心，得出三角形边上的中线与垂直平分线都重合，△ABC为正三角形；
⑥向量数量积的运算不符合结合律．
②由函数y=cosx减区间为[2kπ，2kπ+π]，而此时sinx≥0；
③取x1=0，x2=π，x1＜x2，但y1=y2，不符合增函数的定义；
④将|
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
⑤若
| PA |
| PB |
| PC |
| 0 |
⑥向量数量积的运算不符合结合律．
解答：
解：①当α∈（0，
）时，由单位圆中三角函数线知sinα+cosα＞1，
所以不存在α∈（0，
），使sinα+cosα=
；①错误
②由函数y=cosx减区间为[2kπ，2kπ+π]，而此时sinx≥0，
所以不存在区间（a，b），使y=cosx为减函数而sinx＜0；②错误
③取x1=0，x2=π，x1＜x2，但y1=y2，不符合增函数的定义；③错误
④由已知，|
|≥|
|，将|
+
|=|
|-|
|两边平方，
2+
2+2
•
=|
|2+|
|2-2|
||
|，
2
•
=-2|
||
|，cosθ=-1，θ=π，
，
为反向向量，④错误
⑤若
+
+
=
，则P为△ABC的重心，又P为△ABC的外心，所以三角形边上的中线与垂直平分线都重合，△ABC三边两两相等，所以△ABC为正三角形；⑤正确
⑥向量数量积的运算不符合结合律，（
•
）•
≠（
•
）•
=0．⑥错误
综上所述以上命题错误的为：①②③④⑥
故答案为：①②③④⑥
| π |
| 2 |
所以不存在α∈（0，
| π |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
②由函数y=cosx减区间为[2kπ，2kπ+π]，而此时sinx≥0，
所以不存在区间（a，b），使y=cosx为减函数而sinx＜0；②错误
③取x1=0，x2=π，x1＜x2，但y1=y2，不符合增函数的定义；③错误
④由已知，|
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
2
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
⑤若
| PA |
| PB |
| PC |
| 0 |
⑥向量数量积的运算不符合结合律，（
| a |
| b |
| c |
| c |
| a |
| b |
综上所述以上命题错误的为：①②③④⑥
故答案为：①②③④⑥
点评：本题考查命题真假的判断，考查了函数的单调性，向量运算及几何意义等．
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