Question

已知直线l：y=-

1

2

x+1，试求：
（1）点P（-2，-1）关于直线l的对称点坐标；
（2）直线l₁：y=x-2关于直线l对称的直线l₂的方程；
（3）直线l关于点A（1，1）对称的直线方程．

Answer 1

考点：与直线关于点、直线对称的直线方程,待定系数法求直线方程

专题：直线与圆

分析：（1）设点P（-2，-1）关于直线l的对称点坐标为（m，n），则由垂直及中点在轴上这两个条件求得m、n的值，可得结论．
（2）先求得直线l₁：y=x-2与直线l：y=-

1

2

x+1的交点为E的坐标，求出直线l₁：y=x-2上的点（0，-2）关于直线l：y=-

1

2

x+1的对称点的坐标，用两点式求得l₁关于直线l对称的直线l₂的方程．
（3）在对称的直线上任意取一点M（x，y），则根据点M关于点A（1，1）对称点N（2-x，2-y）在直线l：y=-

1

2

x+1上，求得对称直线的方程．

解答： 解：（1）设点P（-2，-1）关于直线l的对称点坐标为（m，n），则由题意可得

- 1 2 • n+1 m+2 =-1 n-1 2 =- 1 2 • m-2 2 +1

，
求得

m=- 2 5 n= 11 5

，故点P（-2，-1）关于直线l的对称点坐标为（-

2

5

，

11

5

）．
（2）直线l₁：y=x-2与直线l：y=-

1

2

x+1的交点为E（2，0），
设直线l₁：y=x-2上的点（0，-2）关于直线l：y=-

1

2

x+1的对称点为（a，b），由

b+2 a-0 •(- 1 2 )=-1 b-2 2 =- 1 2 • a+0 2 +1

 求得

a=- 4 5 b=- 18 5

，
即对称点的坐标为（-

4

5

，-

18

5

，），用两点式求得l₁关于直线l对称的直线l₂的方程为

y+2

- 18 5 +2

=

x-0

- 4 5 -0

，即 2x-y-2=0．
（3）在直线l：y=-

1

2

x+1关于点A（1，1）对称的直线上任意取一点M（x，y），则点M关于点A（1，1）对称点N（2-x，2-y）在直线l：y=-

1

2

x+1上，
故有2-y=-

1

2

（2-x）+1，化简可得 x+2y-4=0．

点评：本题主要考查求一个点关于某直线的对称点的坐标的求法，利用了垂直及中点在轴上这两个条件，还考查了中点公式，用两点式求直线的方程，属于基础题．