Question

19．已知抛物线y²=2px（p＞0）上的点M（2$\sqrt{3}$，m）到其焦点F的距离为$\frac{9\sqrt{3}}{4}$．
（I）求m，p的值；
（Ⅱ）已知点A、B在抛物线C上且位于x轴的两侧，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=6（其中0为坐标原点），求△ABO面积的最小值．

Answer 1

分析 （I）利用抛物线的定义，点M（2$\sqrt{3}$，m）到其焦点F的距离．求解p，点的坐标满足方程求m的值；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用平方差法，以及$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=6$，求出y₂y₁=-6，表示出三角形的面积，利用基本不等式求解△ABO面积的最小值．

解答 解：（Ⅰ）由抛物线定义可得$2\sqrt{3}+\frac{p}{2}=\frac{{9\sqrt{3}}}{4}$，解得$p=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴所求抛物线方程为${y^2}=\sqrt{3}x$，
把M（$2\sqrt{3}$，m）代入可解得$m=±\sqrt{6}$，…（4分）
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则$y_1^2=\sqrt{3}{x_1}$，$y_2^2=\sqrt{3}{x_2}$．
由$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=6$，得$\frac{y_1^2y_2^2}{3}+{y_1}{y_2}=6$，
又A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，故y₂y₁=-6．…（6分）
∵$cos∠AOB=\frac{{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}}}{{|{\overrightarrow{OA}}|•|{\overrightarrow{OB}}|}}$，$sin∠AOB=\sqrt{1-{{（\frac{{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}}}{{|{\overrightarrow{OA}}|•|{\overrightarrow{OB}}|}}）}^2}}$
∴${S_{△ABO}}=\frac{1}{2}|{\overrightarrow{OA}}||{\overrightarrow{OB}}|sin∠AOB=\frac{1}{2}|{\overrightarrow{OA}}||{\overrightarrow{OB}}|\sqrt{1-{{（\frac{{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}}}{{|{\overrightarrow{OA}}|•|{\overrightarrow{OB}}|}}）}^2}}$…（8分）
=$\frac{1}{2}\sqrt{{{（|{\overrightarrow{OA}}||{\overrightarrow{OB}}|）}^2}-36}$=$\frac{1}{2}\sqrt{（\frac{y_1^4}{3}+y_1^2）（\frac{y_2^4}{3}+y_2^2）-36}$=$\frac{1}{2}\sqrt{12（y_1^2+\frac{36}{y_1^2}+12）}$=$\sqrt{3}|{y_1^{\;}+\frac{6}{{y_1^{\;}}}}|≥6\sqrt{2}$．
∴△ABO面积的最小值为$6\sqrt{2}$．                    …（12分）

点评 本题考查抛物线的方程的综合应用，直线与抛物线的位置关系，考查转化思想以及计算能力．