Question

6．已知△ABC中角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足c=a•cos（A+C），则tanC的最大值为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{4}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 由已知可得sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=-sinAcosB，从而化简得tanB=-2tanA，由tanC=-tan（A+B）=$\frac{1}{\frac{1}{tanA}+2tanA}$，根据不等式，即可解得
tanC的最大值．

解答 解：由c=a•cos（A+C），
∴sinC=sinA•cos（A+C）=-sinAcosB，
=cos（A+C）=-cosB，
∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=-sinAcosB，
∴cosAsinB=-2sinAcosB，
∴tanB=-2tanA，
∴tanC=-tan（A+B）=-$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$=$\frac{tanA}{1+2ta{n}^{2}A}$=$\frac{1}{\frac{1}{tanA}+2tanA}$，
∵$\frac{1}{tanA}$+2tanA≥2$\sqrt{2}$，当且仅当tan²A=$\frac{1}{2}$取等号，
∴tanC≤$\frac{\sqrt{2}}{4}$
∴最大值是$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
故选：B．

点评 本题主要考查了两角和与差的余弦函数公式、正弦函数公式、正切函数公式的应用，考查了基本不等式的应用，属于基本知识的考查．