Question

6．函数f（x）=aln（x²+1）+bx，g（x）=bx²+2ax+b，（a＞0，b＞0）．已知方程g（x）=0有两个不同的非零实根x₁，x₂．
（1）求证：x₁+x₂＜-2；
（2）若实数λ满足等式f（x₁）+f（x₂）+3a-λb=0，求λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由方程g（x）=0有两个不同的非零实根x₁，x₂，可得$\frac{a}{b}$＞1，结合韦达定理可得x₁+x₂＜-2；
（2）若实数λ满足等式f（x₁）+f（x₂）+3a-λb=0，则λ=$\frac{2a}{b}$ln$\frac{2a}{b}$+$\frac{a}{b}$，进而可得λ的取值范围．

解答 （本题12分）
证明：（1）由方程g（x）=bx²+2ax+b=0有两个不同的非零实根，
得△=4a²-4b²＞0，
因此a＞b＞0，
所以$\frac{a}{b}$＞1；
所以x₁+x₂=$-\frac{2a}{b}$＜-2；
解：（2）由（1）知x₁x₂=1，
f（x₁）+f（x₂）+3a
=aln[x₁²x₂²+（x₁²+x₂²）+1]+b（x₁+x₂）+3a
=aln[（x₁²+x₂²）+2]+b（x₁+x₂）+3a
=aln[（x₁+x₂）²]+b（x₁+x₂）+3a
=2aln$\frac{2a}{b}$+a，
由f（x₁）+f（x₂）+3a-λb=0得λ=$\frac{2a}{b}$ln$\frac{2a}{b}$+$\frac{a}{b}$，
设t=$\frac{2a}{b}$＞2，则λ=tlnt+$\frac{t}{2}$是增函数．
因此λ＞2ln2+1

点评 本题考查的知识点是方程根的存在性质及个数判断，函数的单调性，难度中档．