Question

15．已知等差数列{a_n}的公差d≠0，且a₁，a₃，a₁₃成等比数列，若a₁=1，S_n为数列{a_n}的前n项和，则$\frac{2{S}_{n}+16}{{a}_{n}+3}$的最小值为（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2$\sqrt{3}$-2
• D． 2

Answer 1

分析 a₁，a₃，a₁₃成等比数列，a₁=1，可得：a₃²=a₁a₁₃，即（1+2d）²=1+12d，d≠0，解得d．可得a_n，S_n．代入$\frac{2{S}_{n}+16}{{a}_{n}+3}$利用分离常数法化简后，利用基本不等式求出式子的最小值．

解答 解：∵a₁，a₃，a₁₃成等比数列，a₁=1，
∴a₃²=a₁a₁₃，
∴（1+2d）²=1+12d，d≠0，
解得d=2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
S_n=n+$\frac{n（n-1）}{2}$×2=n²．
∴$\frac{2{S}_{n}+16}{{a}_{n}+3}$=$\frac{2{n}^{2}+16}{2n+2}$=$\frac{（n+1）^{2}-2（n+1）+9}{n+1}$=n+1+$\frac{9}{n+1}$-2≥2$\sqrt{（n+1）×\frac{9}{n+1}}$-2=4，
当且仅当n+1=$\frac{9}{n+1}$时取等号，此时n=2，且$\frac{2{S}_{n}+16}{{a}_{n}+3}$取到最小值4，
故选：A．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式，等比中项的性质，基本不等式求最值，解题的关键是利用分离常数法化简式子，凑出积为定值．