Question

在数列{a_n}中，a₁=3，a_n=-a_n+1-4n（n≥2，n∈N^*），数列{a_n}的前n项和S_n．
（1）证明：数列{a_n+2n+1}是等比数列，并求{a_n}的通项公式；
（2）求S_n．

Answer 1

考点：数列递推式,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得a_n+2n+1=-a_n-1-4n+2n+1=-a_n-1-2n+1=-a_n-1-2（n-1）-1，由此能证明{a_n+2n+1}是一个公比为-1的等比数列．由此能求出a_n=-6•（-1）ⁿ-2n-1．
（2）当n为奇数时，S_n=6-2（1+2+3+…+n）-n=-n²-2n+6，当n为偶数时，S_n=0-2（1+2+3+…+n）-n=-n²-2n，由此能求出S_n．

解答： 解：（1）∵在数列{a_n}中，a₁=3，a_n=-a_n+1-4n（n≥2，n∈N^*），
∴a_n+2n+1=-a_n-1-4n+2n+1=-a_n-1-2n+1=-a_n-1-2（n-1）-1
即：a_n+2n+1=-[a_n-1+2（n-1）+1]，
∴{a_n+2n+1}是一个公比为-1的等比数列．
∵a₁+2×1+1=6，
∴a_n+2n+1=6•（-1）^n-1=-6•（-1）ⁿ，
∴a_n=-6•（-1）ⁿ-2n-1．
（2）∵a_n=-6•（-1）ⁿ-2n-1，
∴当n为奇数时，S_n=6-2（1+2+3+…+n）-n=-n²-2n+6，
当n为偶数时，S_n=0-2（1+2+3+…+n）-n=-n²-2n，
∴S_n=

-n2-2n+6，n为奇数 -n2-2n，n为偶数

．

点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．