Question

平面直角坐标系中，直线截以原点为圆心的圆所得的弦长为
（1）求圆的方程；
（2）若直线与圆切于第一象限，且与坐标轴交于，当长最小时，求直线的方程；
（3）问是否存在斜率为的直线，使被圆截得的弦为，以为直径的圆经过原点．若存在，写出直线的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）；（2）x+y﹣2=0；（3）。

试题分析：（1）因为O点到直线x﹣y+1=0的距离为，（2分）
所以圆O的半径为，故圆O的方程为        4分
（2）设直线的方程为，即bx+ay﹣ab=0，
由直线与圆O相切，得，即，       6分
，
当且仅当a=b=2时取等号，此时直线l的方程为x+y﹣2=0      8分
（3）设存在斜率为2的直线满足题意，设直线为：，
则：得：        10分
依题意得；，
因为以为直径的圆经过原点，
所以有：

所以存在斜率为2的直线满足题意，直线为：        14分
点评：此题主要考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识较多，综合性较强。熟练掌握定理及法则以及知识点的灵活应用是解题的关键，是一道中档题。