Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(b＞a＞0)的两条渐近线为l₁，l₂，过右焦点F作垂直l₁的直线交l₁，l₂于A，B两点．若|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，则双曲线的离心率为（　　）

• A、

  5

  2

• B、

  5

• C、

  3

• D、

  3

  +1

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：确定渐近线的夹角范围，求出离心率的范围，再用勾股定理得出直角三角形的2个直角边的长度比，联想到渐近线的夹角，求出渐近线的斜率，进而求出离心率．

解答： 解：∵b＞a＞0，∴渐近线斜率为：k＞1，
∴

b2

a2

=e²-1＞1，
∴e²＞2，
∴|AB|²=（|OB|-|OA|）（|OB|+|OA|）=（|OB|-|OA|）2|AB|，
∴|AB|=2（|OB|-|OA|），
∵|OA|+|OB|=2|AB|，
∴|OA|=

3

4

|AB|，
∴

|AB|

|OA|

=

4

3

，
而在直角三角形OAB中，注意到三角形OAF也为直角三角形，即tan∠AOB=

4

3

而由对称性可知：OA的斜率为k=tan（

π

2

-

1

2

∠AOB）
∴

2k

k2-1

=

4

3

，∴2k²-3k-2=0，∴k=2或（k=-

1

2

舍去）；
∴

b

a

=2，
∴e=

5

．
故选：B．

点评：本题考查了双曲线的简单性质以及等差数列的性质，做到边做边看，从而发现题中的巧妙，如据

|AB|

|OA|

=

4

3

，联想到对应的是渐近线的夹角的正切值，是解题的关键．