Question

如图，在正方形ABCD中，求正方形内一点到A，B，D的距离和最短．

Answer 1

考点：两点间的距离公式,函数的最值及其几何意义

专题：计算题,解三角形

分析：以D为旋转中心，将△APD旋转60°得到△A'P'D，连P'P，PB，易得△PP'D为等边三角形，即PP'=PD，则AP+PB+PD=A'P'+P'P+PB，当AP+PB+PD取最小值时，折线A'P'PB成为线段，由余弦定理求得最小值，以及最小值时，∠APD=120°，∠PAD=45°，∠ADP=15°，即可确定P点．

解答： 解：以D为旋转中心，将△APD旋转60°得到△A'P'D，连P'P，PB，如图，
∴PD=P'D，∠PDP'=60°，
∴△PP'D为等边三角形，
∴PP'=PD，
∴AP+PB+PD=A'P'+P'P+PB，
当AP+PB+PD取最小值时，折线A'P'PB成为线段，
∴∠A'AB=150°，设正方形边长为a，则由余弦定理可得，
最小值为

a2+a2-2a2•(- 3 2 )

=

2+ 3

a．
易得取最小值时，∠APD=120°，∠PAD=45°，∠ADP=15°，
即可得到所求P点．

点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角．也考查了等边三角形的性质、余弦定理以及两点之间线段最短．