题目内容

等边三角形ABC的边长为3，点D，、E分别是边AB、AC上的点，且满足
AD
DB
=
CE
EA
=
1
2
．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使二面角A1-DE-B成直二面角，连接A1B、A1C．

（1）求证：A1D⊥平面BCED；
（2）求A1E与平面A1BC所成角的正弦值．
（3）在线段BC上是否存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°？若存在，求出PB的长；若不存在，请说明理由．
考点：与二面角有关的立体几何综合题
专题：空间位置关系与距离,空间角
分析：（1）由已知得A1D⊥DE，BD⊥DE，A1D⊥BD，由此能证明A1D⊥平面BCED．
（2）以D为空间直角坐标系的原点，以DB、DE、DA1为x，y，z轴建立空间直角坐标系D-xyz，利用向量法能求出A1E与平面A1BC所成角的正弦值．
（3）假设在线段BC上存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°，利用向量法能推导出此时PB=
5
2
．
解答： （1）证明：由题知在图1中，在△ADE中，AD=1，AE=2，
则DE2=AD2+AE2-2AD•AE•cosA=3，
即得：DE=
3
，所以AE2=AD2+DE2，
即得∠ADE=90°，
则在图2中，有A1D⊥DE，BD⊥DE，
二面角A1-DE-B的平面角∠A1DB=90°，
即得A1D⊥BD，
∵A1D⊥BD，A1D⊥DE，且BD，DE?平面BCDE，
BD∩DE=D，∴A1D⊥平面BCED．
（2）解：由（1）知：A1D⊥BD，A1D⊥DE，BD⊥DE，
所以以D为空间直角坐标系的原点，
以DB、DE、DA1为x，y，z轴建立空间直角坐标系D-xyz．
则D（0，0，0），A1（0，0，1），E（0，
3
，0），B（2，0，0），C（
1
2
，
3
3
2
，0），
∴
BC
=(-
3
2
，
3
3
2
，0)，
BA1
=（-2，0，1），
A1E
=（0，
3
，-1），
令平面A1BC的法向量为
n
=(x，y，z)，
由
n
•
BC
=-
3
2
x+
3
3
2
y=0
n
•
BA1
=-2x+z=0
，得
n
=（1，
1
3
，2），
记A1E与平面A1BC所成角为θ，
则sinθ=|cos＜
n
，
A1E
＞|=|
0+1-2
4
•
1+4+
1
3
|=
3
8
．
∴A1E与平面A1BC所成角的正弦值为
3
8
．
（3）解：假设在线段BC上存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°．
令
BP
=λ
BC
，
则
PA1
=
BA1
-
BP
=（
3
2
λ-2，-
3
3
2
λ，1），
而平面A1BD的一个法向量为
m
=（0，1，0），
则由|
PA1
•
m
|
m
|•|
PA1
|
|=
3
2
，解得λ=
5
6
，
∴在线段BC上存在点P，使得直线PA1与平面A1BD所成的角为60°，此时PB=
5
2
．
点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，考查满足条件遥点是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
练习册系列答案
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2
x
+
1
y-2
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3
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9
10
10
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1
3
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π
6
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π
2
，
3π
2
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2
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10
13
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6
5
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