Question

已知函数f（x）=2sin（

1

3

x-

π

6

），x∈R．
（1）求f（0）的值；
（2）设α∈（

π

2

，

3π

2

），β∈（π，2π），f（3α+

π

2

）=

10

13

，f（3β+2π）=

6

5

，求cos（α-β）的值．

Answer 1

考点：运用诱导公式化简求值,三角函数的化简求值

专题：三角函数的求值

分析：（1）把x=0代入函数解析式求出值即可；
（2）由f（3α+

π

2

）=

10

13

，f（3β+2π）=

6

5

，求出sinα与cosβ的值，进而求出cosα与sinβ的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式化简，把各自的值代入计算即可求出值．

解答： 解：（1）f（0）=2sin（-

π

6

）=-1；
（2）f（3α+

π

2

）=2sin[

1

3

（3α+

π

2

）-

π

6

]=sinα=

10

13

，即sinα=

5

13

，f（3β+2π）=2sin[

1

3

（3β+2π）-

π

6

]=2sin（β+

π

2

）=2cosβ=

6

5

，即cosβ=

3

5

，
∵α∈（

π

2

，

3π

2

），β∈（π，2π），
∴cosα=-

12

13

，sinβ=-

4

5

，
则cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=-

12

13

×

3

5

-

4

5

×

5

13

=-

56

65

．

点评：此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．