题目内容
已知命题p：x1和x2是方程x2-mx-2=0的两个实根，不等式a2-5a-3≥|x1-x2|对任意实数m∈[-1，1]恒成立；命题q：不等式ax2+2x-1＞0有解，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求a的取值范围．
考点：复合命题的真假
专题：计算题,简易逻辑
分析：化简命题p，q；由p∨q为真命题，p∧q为假命题知p与q有且仅有一个为真．从而得出a的取值范围．
解答：
解：∵x1，x2是方程x2-mx-2=0的两个实根，
∴x1+x2=m，x1•x2=-2，
|x1-x2|=
=
，
∴当m∈[-1，1]时，|x1-x2|max=3．
由不等式a2-5a-3≥|x1-x2|对任意实数m∈[-1，1]恒成立，
可得：a2-5a-3≥3；
∴a≥6或a≤-1；
∴命题p为真命题时a≥6或a≤-1，命题p为假命题时-1＜a＜6；
命题q：不等式ax2+2x-1＞0有解，
①当a＞0时，显然有解，
②当a=0时，2x-1＞0有解，
③当a＜0时，∵ax2+2x-1＞0有解，
∴△=4+4a＞0，∴-1＜a＜0；
从而命题p：不等式ax2+2x-1＞0有解时a＞-1
∴命题q是假命题时a＞-1，命题q是假命题时a≤-1．
∵p∨q真，p∧q假，
∴p与q有且仅有一个为真．
（1）当命题p是真命题且命题q是假命题时a≤-1；
（2）当命题p是假命题且命题q是真命题时-1＜a＜6；
综上所述：a的取值范围为a＜6．
∴x1+x2=m，x1•x2=-2，
|x1-x2|=
| (x1+x2)2-4x1x2 |
| m2+8 |
∴当m∈[-1，1]时，|x1-x2|max=3．
由不等式a2-5a-3≥|x1-x2|对任意实数m∈[-1，1]恒成立，
可得：a2-5a-3≥3；
∴a≥6或a≤-1；
∴命题p为真命题时a≥6或a≤-1，命题p为假命题时-1＜a＜6；
命题q：不等式ax2+2x-1＞0有解，
①当a＞0时，显然有解，
②当a=0时，2x-1＞0有解，
③当a＜0时，∵ax2+2x-1＞0有解，
∴△=4+4a＞0，∴-1＜a＜0；
从而命题p：不等式ax2+2x-1＞0有解时a＞-1
∴命题q是假命题时a＞-1，命题q是假命题时a≤-1．
∵p∨q真，p∧q假，
∴p与q有且仅有一个为真．
（1）当命题p是真命题且命题q是假命题时a≤-1；
（2）当命题p是假命题且命题q是真命题时-1＜a＜6；
综上所述：a的取值范围为a＜6．
点评：本题考查了复合命题真假性的判断、方程的解的判断、韦达定理及分类讨论的思想，属于中档题．
练习册系列答案
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已知集合M={x|sinx＞cosx，0＜x＜π}和N={x|sin2x＞cos2x，0＜x＜π}，则M与N的交集为（ ）
A、（
| ||||
B、（
| ||||
C、（
| ||||
D、（
|
如图，在四面体PABC中，点D，E，F，G分别是棱AP，AC，BC，PB的中点．