Question

2．袋中装有4个黑球和3个白球，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取一个球．甲先摸，乙后摸，然后甲再摸，…，摸取后均不放回，直到有一人摸取到白球即终止．每个球在每一次被摸出的机会都是等可能的．用X表示摸球终止时所需的摸球的次数．
（1）求甲乙两人各摸一次球就终止的概率；
（2）求随机变量X的概率分布列和数学期望E（X）．

Answer 1

分析 （1）甲乙两人各摸一次球就终止的含意为甲先摸，摸到的是黑球，乙后摸，摸到的是白球，此时X=2，由此能求出甲乙两人各摸一次球就终止的概率．
（2）袋中的7个球 3白4黑，随机变量X的所有可能取值是1，2，3，4，5．分别求出相的应的概率，由此能求出随机变量X的概率分布列和E（X）．

解答 解：（1）甲乙两人各摸一次球就终止的含意为甲先摸，摸到的是黑球，乙后摸，摸到的是白球，此时X=2，
由题P（X=2）=$\frac{{A}_{4}^{1}{A}_{3}^{1}}{{A}_{7}^{2}}$=$\frac{2}{7}$，
∴甲乙两人各摸一次球就终止的概率为$\frac{2}{7}$．…（4分）
（2）袋中的7个球 3白4黑，随机变量X的所有可能取值是1，2，3，4，5．
P（X=1）=$\frac{{A}_{3}^{1}}{{A}_{7}^{1}}$=$\frac{3}{7}$，
P（X=2）=$\frac{{A}_{4}^{1}{A}_{3}^{1}}{{A}_{7}^{2}}$=$\frac{2}{7}$，
P（X=3）=$\frac{{A}_{4}^{2}{A}_{3}^{1}}{{A}_{7}^{4}}$=$\frac{6}{35}$，
P（X=4）=$\frac{{A}_{4}^{3}{A}_{3}^{1}}{{A}_{7}^{4}}$=$\frac{3}{35}$，
P（X=5）=$\frac{{A}_{4}^{4}{A}_{3}^{1}}{{A}_{7}^{5}}$=$\frac{1}{35}$．…（12分）
（注：此段（4分）的分配是每错1个扣（2分），错到4个即不得分，另用其它解法酌情给分）
随机变量X的概率分布列为：

X	1	2	3	4	5
P	$\frac{3}{7}$	$\frac{2}{7}$	$\frac{6}{35}$	$\frac{3}{35}$	$\frac{1}{35}$

所以E（X）=$1×\frac{3}{7}+2×\frac{2}{7}+3×\frac{6}{35}+4×\frac{3}{35}+5×\frac{1}{35}$=2．…（15分）

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．