Question

14．已知锐角△ABC中内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足$\sqrt{3}$a=2bsinA．
（1）求角B的大小；
（2）若b=$\sqrt{7}$，a+c=4，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由已知根据正弦定理得$\sqrt{3}$sinA=2sinBsinA，结合sinA＞0，可求sinB，结合B的范围，即可求B的值．
（2）由余弦定理ac=3，利用三角形面积公式即可得解得解．

解答 （本题满分为10分）
解：（1）由$\sqrt{3}$a=2bsinA，根据正弦定理得
$\sqrt{3}$sinA=2sinBsinA，…（2分）
∵sinA＞0，
∴sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
则由△ABC为锐角三角形，得B=$\frac{π}{3}$． …（4分）
（2）∵b=$\sqrt{7}$，a+c=4，B=$\frac{π}{3}$，
∴由余弦定理有b²=a²+c²-2accosB，…（6分）
得b²=（a+c）²-2ac-2accosB，
即7=16-2ac（1+$\frac{1}{2}$），解得ac=3．…（9分）
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}×3×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$． …（10分）

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．